Liniowa zależność i niezależność funkcji

Definicja 1: Liniowej zależności zbioru funkcji

Mówimy, że zbiór funkcji \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t) \hskip 0.3pc \) określonych na przedziale \( \hskip 0.3pc I\subset\mathbb{R}\hskip 0.3pc \) jest liniowo zależny, jeżeli istnieją stałe \( \hskip 0.3pc c_1,\ldots ,c_n \hskip 0.3pc \) nie wszystkie równe zero, takie że \( \hskip 0.3pc c_1f_1(t)+\cdots +c_nf_n(t)=0\hskip 0.3pc , \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \).

Definicja 2: Liniowej niezależności zbioru funkcji

Mówimy, że zbiór funkcji \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) określonych na przedziale \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny. Inaczej mówiąc, równość \( \hskip 0.3pc c_1f_1(t)+\cdots +c_nf_n(t)=0\hskip 0.3pc \) zachodzi dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \) jedynie w przypadku, gdy wszystkie współczynniki \( \hskip 0.3pc c_i, \hskip 0.3pc i=1,\dots,n\hskip 0.3pc \) są równe zero.

Uwaga 1:

Z liniowej zależności funkcji \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) wynika, że jedną z nich można przedstawić jako kombinację pozostałych. Na przykład: jeśli \( \hskip 0.3pc c_1\neq 0,\hskip 0.3pc \) to

\( f_1(t)=-\frac{c_2}{c_1}f_2(t)-\frac{c_3}{c_1}f_3(t)-\cdots -\frac{c_n}{c_1}f_n(t). \)

Stąd wynika, że dwie funkcje \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc g(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała \( \hskip 0.3pc c\hskip 0.3pc \) taka, że \( \hskip 0.3pc f(t)=cg(t)\hskip 0.3pc \).

Przykład 1:

Funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=t,\hskip 0.3pc f_2(t)=t^2,\hskip 0.3pc f_3(t)=4t-3t^2\hskip 0.3pc \) określone na \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne.

Istotnie jeśli weżmiemy \( c_1=-4,\hskip 0.3pc c_2=3,\hskip 0.3pc c_3=1, \) to otrzymamy tożsamość

\( -4f_1(t)+3f_2(t)+f_3(t)=-4t+3t^2+4t-3t^2=0 \)

co oznacza, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t),\hskip 0.3pc f_2(t),\hskip 0.3pc f_3(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne.

Przykład 2:

Pokażemy, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=1,\hskip 0.3pc f_2(t)=t,\hskip 0.3pc f_3(t)=t^2\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne.
Należy zatem pokazać, że następująca tożsamość

(1)

\( c_1f_1(t)+c_2f_2(t)+c_3f_3(t)=0 \hskip 1pc {\rm dla} \hskip 1pc t\in \mathbb{R} \)

zachodzi jedynie w przypadku gdy \( \hskip0.3pc c_1=c_2=c_3=0 \).
Z równości ( 1 ) dla \( \hskip 0.3pc t=0,\hskip 0.3pc \) wynika, że \( \hskip 0.3pc c_1=0\hskip 0.3pc \). Uwzględniając, że \( \hskip 0.3pc c_1=0\hskip 0.3pc \) i podstawiając do równości ( 1 ) za \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) kolejno \( \hskip 0.3pc -1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc 1,\hskip 0.3pc \) otrzymujemy następujący układ równań

\( \begin{cases}-c_2+c_3=0 & \\ c_2+c_3=0, & \end{cases} \)

którego jedynym rozwiązaniem jest \( \hskip 0.3pc c_2=0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_3=0,\hskip 0.3pc \) co kończy dowód liniowej niezależności.

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Zakładamy, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) określone na przedziale \( \hskip 0.3pc I\subset \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) są \( \hskip 0.3pc n-1\hskip 0.3pc \) krotnie różniczkowalne i wyznacznik

(2)

\( \begin{vmatrix} f_1(t) & f_2(t) & \ldots & f_n(t) \\ f_1^{\prime}(t) & f_2^{\prime}(t) & \ldots & f_n^{\prime}(t) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f^{(n-1)}_1(t) & f^{(n-1)}_2(t) & \ldots & f^{(n-1)}_n(t) \end{vmatrix} \)

nie jest równy zero przynajmniej dla jednego \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) z przedziału \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \).

TEZA:

Wtedy funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne. Powyższy wyznacznik będziemy oznaczać \( \hskip 0.3pc W(f_1(t),\ldots,f_n(t))\hskip 0.3pc \) i nazywać Wrońskianem, inaczej wyznacznikiem macierzy Wrońskiego.

DOWÓD:

Dowód twierdzenia podamy w przypadku, gdy \( \hskip 0.3pc n=2.\hskip 0.3pc \) Dla większych \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) dowód jest podobny.
Zakładamy, że istnieje \( \hskip 0.3pc t_0\in I,\hskip 0.3pc \) dla którego \( \hskip 0.3pc W(f_1(t_0),f_2(t_0)) \neq 0.\hskip 0.3pc \)
Dla dowodu nie wprost zakładamy, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc f_2(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne. To oznacza, że istnieją stałe \( \hskip 0.3pc c_1,\hskip 0.3pc c_2\hskip0.3pc \) jednocześnie nie równe zero takie, że dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \) zachodzi równość

(3)

\( c_1f_1(t)+c_2f_2(t)=0. \)

Różniczkując stronami równość ( 3 ) dostajemy

(4)

\( c_1f^{\prime}_1(t)+c_2f^{\prime}_2(t)=0. \)

Dla \( \hskip 0.3pc t=t_0,\hskip 0.3pc \) z równości ( 3 ) i ( 4 ) otrzymujemy układ równań

\( \begin{cases}c_1f_1(t_0)+c_2f_2(t_0)=0 & \\ c_1f_1^{\prime}(t_0)+c_2f_2^{\prime}(t_0)=0 & \end{cases} \)

o niewiadomych \( \hskip 0.3pc c_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_2,\hskip 0.3pc \) dla którego wyznacznik \( \hskip 0.3pc W(f_1(t_0),\,f_2(t_0)) \neq 0.\hskip 0.3pc \)
Zatem układ ten posiada jedynie rozwiązanie zerowe \( \hskip 0.3pc c_1=0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_2=0,\hskip 0.3pc \) co jest sprzeczne z założeniem, że \( \hskip 0.3pc c_1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_2\hskip 0.3pc \) nie są jednocześnie równe zero.

Oznacza to, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc f_2(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne.

Wniosek 1:

Jeżeli funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) są \( \hskip 0.3pc n-1\hskip 0.3pc \)- krotnie różniczkowalne na \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) i są liniowo zależne, to \( \hskip 0.3pc W(f_1(t),\ldots,f_n(t))=0,\hskip 0.3pc \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I.\hskip 0.3pc \)

Uwaga 2:

Z tego, że wrońskian dla funkcji \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) jest równy zero dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \) nie wynika, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t),\ldots,f_n(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne. Na przykład: funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=t^2,\hskip 0.3pc f_2(t)=t|t|\hskip 0.3pc \) są różniczkowalne w \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc W(f_1(t),f_2(t))=0,\hskip 0.3pc \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in \mathbb{R}\hskip 0.3pc \). Funkcje te są liniowo niezależne, ponieważ nie istnieje \( \hskip 0.3pc c\in \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) takie, że \( \hskip 0.3pc f_1(t)=cf_2(t),\hskip 0.3pc \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in \mathbb{R} \) .

Przykład 3:

Pokażemy, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=e^{2t},\hskip 0.3pc f_2(t)=te^{2t}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc f_3(t)=e^t\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne. W tym celu obliczamy ich wrońskian

\( \begin{aligned} W(f_1(t),f_2(t),f_3(t))=& \begin{vmatrix} e^{2t} & te^{2t} & e^t \\ 2e^{2t} & (2t+1)e^{2t} & e^t \\ 4e^{2t} & (4t+4)e^{2t} & e^t \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{2t} & te^{2t} & e^t \\ e^{2t} & (t+1)e^{2t} & 0 \\ 3e^{2t} & (3t+4)e^{2t} & 0 \end{vmatrix}= \\ & e^t\cdot \begin{vmatrix} e^{2t} & (t+1)e^{2t} \\ 3e^{2t} & (3t+4)e^{2t}\end{vmatrix}=e^t[e^{4t}(3t+4)-(3t+3)e^{4t}]=e^{5t}\neq 0.\end{aligned} \)

Stąd, na mocy twierdzenia 1, funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=e^{2t},\hskip 0.3pc f_2(t)=te^{2t}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc f_3(t)=e^t\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne.

Przykład 4:

Pokażemy, że funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t)=\sin t, f_2(t)=\cos t, f_3(t)=\sin(t+\frac{\pi}{6})\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne.
Ponieważ \( \hskip 0.3pc f_3(t)=\sin(t+\frac{\pi}{6})=\sin t\cos \frac{\pi}{6} +\cos t\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt 3}{2}\sin t+\frac{1}{2}\cos t=\frac{\sqrt3}{2}f_1(t)+\frac{1}{2}f_2(t),\hskip 0.3pc \) zatem \( \hskip 0.3pc \frac{\sqrt 3}{2}f_1(t)+\frac{1}{2}f_2(t)-f_3(t)=0\hskip 0.3pc \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in\mathbb{R} \).

Ponieważ współczynniki przy \( \hskip 0.3pc f_1(t),\hskip 0.3pc f_2(t),\hskip 0.3pc f_3(t)\hskip 0.3pc \) nie są równe zero, więc funkcje \( \hskip 0.3pc f_1(t),\hskip 0.3pc f_2(t),\hskip 0.3pc f_3(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo zależne.

Przykład 5:

Pokażemy, że dla dowolnego \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) funkcje \( \hskip 0.3pc 1,\hskip 0.3pc t,\hskip0.3pc t^2,\ldots ,t^n\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne.

I-sposób:
Należy pokazać prawdziwość następującej implikacji:

\( c_01+c_1t+\cdots +c_nt^n=0, t\in \mathbb{R} \Longrightarrow \hskip 0.3pc c_0=c_1=\cdots =c_n=0. \)

Wynika ona bezpośrednio z faktu, że wielomian niezerowy o współczynnikach rzeczywistych stopnia \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) ma co najwyżej \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) różnych pierwiastków rzeczywistych. Ponieważ wielomian \( \hskip 0.3pc c_01+c_1t+\cdots +c_nt^n\hskip 0.3pc \) ma nieskończenie wiele pierwiastków więc musi być wielomianem zerowym, czyli wszystkie jego wspóczynniki są równe zero.
II-sposób:
Ponieważ wrońskian funkcji \( 1,\hskip 0.3pc t,\:t^2,\ldots ,t^n \) :

\( W(1,t,\ldots t^n)=\begin{vmatrix} 1 & t & t^2&t^3&\ldots & t^n \\ 0 & 1! &2t& 3t^2&\ldots & nt^{n-1} \\ 0&0&2!&3!t&\ldots & n(n-1)t^{n-2} \\ 0&0&0&3!&\ldots & n(n-1)(n-2)t^{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & n! \end{vmatrix}=1!2!3!\ldots n! \)

jest różny od zera, więc liniowa niezależność funkcji wynika z twierdzenia 1.

Wniosek 2:

Z przykładu 5 wynika, że funkcje \( \hskip 0.3pc e^{\lambda},\hskip 0.3pc te^{\lambda},\:t^2e^{\lambda},\ldots ,t^ne^{\lambda}\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne.

Przykład 6:

Funkcje

\( \sin (\alpha t),\hskip 0.3pc t\sin (\alpha t),\ldots ,t^n\sin (\alpha t),\hskip 0.3pc \cos (\alpha t),\hskip 0.3pc t\cos (\alpha t),\ldots ,t^n\cos (\alpha t) \)

są liniowo niezależne.
Jeżeli weźmiemy liniową kombinację tych funkcji i przyrównamy ją do zera

(5)

\( \displaystyle\sum_{i=0}^nt^i( c_i\sin(\alpha t)+d_i\cos(\alpha t))=0,\hskip 0.6pc t\in \mathbb{R} \)

a w miejsce \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) podstawimy \( \hskip 0.3pc t_k=\frac{\pi(4k+1)}{2\alpha},\hskip 1pc (k\in \mathbb{Z})\hskip 0.3pc \) wówczas \( \hskip 0.3pc \sin(\alpha t_k)=1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \cos(\alpha t_k)=0.\hskip 0.3pc \) Zatem

\( c_01+c_1t_k+\cdots +c_nt_k^n=0, \hskip 0.5pc k\in \mathbb{Z} \)

równość ta zachodzi, gdy \( \hskip 0.3pc c_0=c_1=\cdots =c_n=0,\hskip 0.3pc \) ponieważ niezerowy wielomian \( \hskip 0.3pc c_01+c_1t+\cdots +c_nt^n\hskip 0.3pc \) może mieć co najwyżej \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) różnych pierwiatków rzeczywistych.
Analogicznie, jeżeli w tożsamości ( 5 ) w miejsce \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) podstawimy \( \hskip 0.3pc \tilde t_k=\frac{2\pi k}{\alpha},\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc (k\in \mathbb{Z}),\hskip 0.3pc \) dla których \( \hskip 0.3pc \sin(\alpha \tilde t_k)=0\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \cos(\alpha \tilde t_k)=1,\hskip 0.3pc \) to otrzymujemy równość

\( d_01+d_1\tilde t_k+\cdots +d_n\tilde t_k^n=0, \hskip 0.5pc k\in \mathbb{Z}, \)

a ta zachodzi, gdy \( \hskip 0.3pc d_0=d_1=\cdots =d_n=0\hskip 0.3pc \) i to kończy dowód liniowej niezależności danego zbioru funkcji.

Wniosek 3:

Z przykładu 6 wynika, że funkcje

\( e^{\lambda}\sin (\alpha t),\hskip 0.3pc e^{\lambda}t\sin (\alpha t),\ldots ,e^{\lambda}t^n\sin (\alpha t),e^{\lambda}\cos (\alpha t),e^{\lambda}t\cos (\alpha t),\ldots ,e^{\lambda}t^n\cos (\alpha t) \)

są liniowo niezależne.

Przykład 7:

Funkcje \( \hskip 0.3pc e^{\lambda _1 t},\hskip 0.3pc e^{\lambda _2 t},\ldots ,e^{\lambda _n t}\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne, jeżeli \( \hskip 0.3pc \lambda _i\neq \lambda _j,\hskip 0.3pc \) gdy \( \hskip 0.3pc i\neq j.\hskip 0.3pc \)

W celu pokazania liniowej niezależności powyższych funkcji, liczymy ich wrońskian

\( \begin{aligned} W(e^{\lambda _1 t},\ldots ,e^{\lambda _n t})=&\begin{vmatrix} e^{\lambda _1 t} & e^{\lambda _2 t}&\ldots & e^{\lambda _n t}\\ \lambda _1 e^{\lambda _1 t} &\lambda_2 e^{\lambda _2t} &\ldots & \lambda _n e^{\lambda _n t} \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda _1^{n-1} e^{\lambda _1 t} & \lambda _2^{n-1} e^{\lambda _2 t} &\cdots &\lambda _n^{n-1} e^{\lambda _n t} \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^ne^{\lambda _i t}\begin{vmatrix} 1 & 1&\ldots & 1 \\ \lambda _1 &\lambda_2 & \ldots & \lambda _n \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ \lambda _1^{n-1} &\lambda_2^{(n-1)}& \ldots & \lambda _n^{n-1} \end{vmatrix}=\\ &e^{\sum_{i=1}^n \lambda _it} \cdot\begin{vmatrix} 1 & 1&\ldots & 1 \\ \lambda _1 & \lambda_2&\ldots & \lambda _n \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda _1^{n-1} &\lambda _2^{n-1} & \ldots & \lambda _n^{n-1}\end{vmatrix}.\end{aligned} \)

Ostatni wyznacznik w powyższej równości liczymy następująco: mnożymy \( \hskip 0.3pc i\hskip 0.3pc \)-ty wiersz przez \( \hskip 0.3pc \lambda _1\hskip 0.3pc \) i odejmujemy od \( \hskip 0.3pc i+1\hskip 0.3pc \) wiersza, \( \hskip 0.3pc i=1,\ldots ,n-1\hskip 0.3pc \) i następnie korzystamy z własności wyznacznika

\( \begin{aligned}&\begin{vmatrix} 1 & 1& \ldots & 1 \\ \lambda _1 &\lambda _2 & \ldots & \lambda _n \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda _1^{n-1} & \lambda _2^{n-1}&\ldots & \lambda _n^{n-1} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & \lambda _2-\lambda _1 & \ldots & \lambda _n-\lambda_1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \lambda _2^{n-1}-\lambda _2^{n-2}\lambda _1&\ldots & \lambda _n^{n-1}-\lambda _n^{n-2}\lambda _1\end{vmatrix}=\\ & \begin{vmatrix}1 & 1 &\ldots & 1 \\ 0 & \lambda _2-\lambda _1&\ldots & \lambda _n-\lambda_1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \lambda _2^{n-2}(\lambda _2-\lambda _1)&\ldots & \lambda _n^{n-2}(\lambda _n-\lambda _1)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \lambda _2-\lambda _1&\ldots & \lambda _n-\lambda_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda _2^{n-1}(\lambda _2-\lambda _1)&\ldots & \lambda _n^{n-1}(\lambda _n-\lambda _1)\end{vmatrix}=\\ &\begin{vmatrix} 1 & \ldots & 1 \\ \lambda _2 & \ldots & \lambda _n \\ \vdots &\ddots & \vdots\\ \lambda _2^{n-2} &\ldots & \lambda _n^{n-2}\end{vmatrix} \prod_{i=2}^n(\lambda_i-\lambda_1).\end{aligned} \)

Mnożąc teraz w ostatnim wyznaczniku w powyższej równości \( \hskip 0.3pc i\hskip 0.3pc \)-ty wiersz przez \( \hskip 0.3pc \lambda_2\hskip 0.3pc \) i odejmując od \( \hskip 0.3pc i+1\hskip 0.3pc \) wiersza, \( \hskip 0.3pc i=1,\ldots ,n-2,\hskip 0.3pc \) otrzymamy analogicznie, jak powyżej, następującą zależność:

\( \begin{vmatrix} 1 & 1& \ldots & 1 \\ \lambda _2 &\lambda _3 & \ldots & \lambda _n \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda _2^{n-2} & \lambda _3^{n-2}&\ldots & \lambda _n^{n-2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & \ldots & 1 \\ \lambda _3 & \ldots & \lambda _n \\ \vdots &\ddots & \vdots\\ \lambda _3^{n-3} & \ldots & \lambda _n^{n-3}\end{vmatrix} \prod_{i=3}^n(\lambda_i-\lambda_2). \)

Postępując tak dalej otrzymamy

\( \begin{vmatrix} 1 & 1& \ldots & 1 \\ \lambda _1 &\lambda _2 & \ldots & \lambda _n \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda _1^{n-1} & \lambda _2^{n-1}&\ldots & \lambda _n^{n-1}\end{vmatrix}= \displaystyle \prod_{i=2}^n(\lambda_i-\lambda_1) \displaystyle\prod_{i=3}^n(\lambda_i-\lambda_2)\cdots \displaystyle \prod_{i=n}^n(\lambda_i-\lambda_{n-1}). \)

Stąd wynika, że \( \hskip 0.3pc W(e^{\lambda _1 t},\ldots ,e^{\lambda _n t})\neq 0\hskip 0.3pc \) i kończy to dowód liniowej niezależności funkcji \( \hskip 0.3pc e^{\lambda _1 t},\hskip 0.3pc e^{\lambda _2 t},\ldots ,e^{\lambda _n t} \).

Temat:
Opis:
Typ:

Email: